Python|選擇權定價Black-Scholes Model

9 min readJan 20, 2023

本文根據Black-Scholes選擇權定價公式及python計算理論價格，最後繪製在不同履約價下的理論價格。由於屬於筆記性質並非學術文章，故選擇權的定價細節不在本文討論，僅用python實作定價。

首先Call的理論價格為

其中C為call價格，St為現貨價格，K為履約價格，N(.)為標準常態的cdf，T及t分別為距到期日及目前時間點(常用單位為天)，r為無風險利率，σ為標的資產的歷史股價報酬。當中可將距到期日及目前時間點的差距視為Δt，並且除上365或是250變成年為單位。由call的公式中，可知需要的變數有6個，分別為St, K, T, t, r, σ，不過也有人視為5個，St, K, Δt, r, σ。因此只要設定好參數，即可以根據公式並寫進python，則求出理論的call價格。

先是引入套件numpy及norm 。接著是設定參數。接著依照公式先求d1及d2，最後則是計算出call理論價格。

#import packages
import numpy as np
from scipy.stats import norm

#parameter setting
T = 250 #maturity T
t = 50 #time t
delta_t = (T - t)/ 365 #annualized the time to maturity
S = 12500 #Strike price
K = 12400 #Exercise price
r = 0.01 #risk-free rate
sigma = 0.05 #volatility

#find the d1 and d2
d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)*(delta_t)) / (sigma*np.sqrt(delta_t))
d2 = d1 - sigma * np.sqrt(delta_t)

print('d1: ', d1)
print('d2: ', d2)

#call price
call = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r*(delta_t)) * norm.cdf(d2)
print('call: ', call)

而Put理論價格為

其中的參數與call相同。故手法與call相同。

#parameter setting
T = 250 #maturity T
t = 50 #time t
delta_t = (T - t)/ 365 #annualized the time to maturity
S = 12500 #Strike price
K = 12400 #Exercise price
r = 0.01 #risk-free rate
sigma = 0.05 #volatility

#find the d1 and d2
d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)*(delta_t)) / (sigma*np.sqrt(delta_t))
d2 = d1 - sigma* np.sqrt(delta_t)
print('d1: ', d1)
print('d2: ', d2)

#put price
put = K * np.exp(-r*(delta_t)) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
print('put: ', put)

為了方便使用，可以將call及put計算的理論價格變成函示庫def。

def option_price(S, K, sigma, T, t, r):
  delta_t = (T-t)/365

  d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)*(delta_t)) / (sigma*np.sqrt(delta_t)) #d1
  d2 = d1 - sigma * np.sqrt(delta_t) #d2

  call = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r*(delta_t)) * norm.cdf(d2) #call price
  put = K * np.exp(-r*(delta_t)) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1) #put price

  return call, put

#parameter setting
T = 250 #maturity T
t = 50 #time t
S = 12500 #Strike price
K = 12400 #Exercise price
r = 0.01 #risk-free rate
sigma = 0.05 #volatility

call, put = option_price(S, K, sigma, T, t, r)
print('call: ', call)
print('put: ', put)

最後則是探討在不同履約價下的選擇權理論價格。由於需要不同的履約價，故根據初始的參數設定，建構一系列的履約價K_ls ，並用lambda、map、list 將不同履約價代入到option_price 中計算call及put的理論價格，並變成list型態，而此處使用array是為了後續的方便使用。

#parameter setting
T = 250 #maturity T
t = 50 #time t
S = 12500 #Strike price
K = 12400 #Exercise price
r = 0.01 #risk-free rate
sigma = 0.05 #volatility

K_ls = np.arange(S-2000, S+2000)#strike price array
price_ls = np.array(list(map(lambda i: option_price(S, i, sigma, T, t, r), K_ls)))
print('K: ', K_ls)
print('Pirce: ', price_ls)

最後則是將理論價格在不同履約價的條件下繪製出來，先展示call。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl

mpl.rcParams['xtick.labelsize'] = 16 
mpl.rcParams['ytick.labelsize'] = 16 

x=K_ls
y=price_ls[:,:1].flatten(order='C')#convert array into one dimension
plt.plot(x, y, label='call')
plt.fill_between(x=x, y1=y, y2=0, color='C0', alpha=0.3)
plt.axvline(S, linestyle='--', color='grey') #strike price line
plt.axhline(0, linestyle='--', color='black') #0 line
plt.xlabel('Strike price (K)', fontsize=14)
plt.ylabel('Theoretical Price', fontsize=14)
plt.title('Call Option', fontsize=16)
plt.legend(fontsize=14)
# plt.savefig('/CallOption.png', bbox_inches='tight')#save fig
plt.show()

後是put。

x=K_ls
y=price_ls[:,1:].flatten(order='C')#convert array into one dimension
plt.plot(x, y, label='pall', color='C1')
plt.fill_between(x=x, y1=y, y2=0, color='C1', alpha=0.3)
plt.axvline(S, linestyle='--', color='grey') #strike price line
plt.axhline(0, linestyle='--', color='black') #0 line
plt.xlabel('Strike Price (K)', fontsize=14)
plt.ylabel('Theoretical Price', fontsize=14)
plt.title('Put Option', fontsize=16)
plt.legend(fontsize=14)
# plt.savefig('/PutOption.png', bbox_inches='tight')#save fig
plt.show()

因此可以得知，對於call來說，履約價越低則理論價格越高越有價值；對於put來說，履約價越大則理論價格越高則理論價格越小。

本文程式碼在https://github.com/MinKuanIsHere/OptionPricing/blob/main/BSmodel.ipynb

Python|選擇權定價Black-Scholes Model

Written by MinKuan